DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA: ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL PROGRAMA EPISTEMOLÓGICO

Silvia C. Etchegaray. Magister en Didáctica de la Matemática. Profesora Adjunta – Dedicación Exclusiva, Departamento de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales. UNRC.

DIRECCION POSTAL PARTICULAR: Güemes 431. Río Cuarto, Córdoba. Teléfono laboral: 0358-4676228. TELEFONO PARTICULAR: 0358-4661268. E-mail setchegaray@exa.unrc.edu.ar

1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es mostrar algunas líneas de desarrollo de la Didáctica de la Matemática en las últimas décadas caracterizando algunas de las ideas y nociones básicas que han permitido su desarrollo. La didáctica ha evolucionado debido a las sucesivas ampliaciones de sus problemáticas, las cuales han modificado necesariamente el objeto primario de investigación de esta ciencia. En efecto, la incorporación del conocimiento matemático como objeto de investigación, cambió a partir de los años setenta la naturaleza de esta disciplina y produjo el desarrollo del Programa epistemológico o Didáctica Fundamental.

Un primer enfoque sistemático de los hechos didácticos es el llamado “enfoque clásico”, el cual considera por una parte, a la actividad cognitiva del sujeto como central y a las características individuales de los alumnos como la principal puerta de entrada para actuar sobre los fenómenos de enseñanza y aprendizaje. En concordancia con Gascón (1998) dentro de este enfoque se pueden distinguir dos objetos primarios de investigación, los que no se sucedieron temporalmente, a saber: el conocimiento matemático del alumno, que conlleva naturalmente a que la fundamentación científica de la didáctica sea la psicología y el pensamiento del profesor que incluye el manejo de un conjunto de conocimientos “profesionales” para cuya construcción se hace necesario un desarrollo de varias disciplinas tales como la psicología educativa, la epistemología de las matemáticas, la sociología, entre otras. Por otra parte este enfoque presupone un saber matemático transparente que no permite cuestionamientos, ni desde su interpretación ni desde el por qué de su selección curricular, ignorando así su relatividad institucional (Gascón, 1999).

Por el contrario, el postular los fenómenos relativos a la enseñanza y al aprendizaje de las matemáticas como fenómenos didácticos-matemáticos¹, y el análisis del saber como el punto de entrada al estudio de los sistemas didácticos, abre, tal como se anticipara, un nuevo marco conceptual iniciado en Francia por Brousseau, Vergnaud, Chevallard y otros. En otras palabras, pasan a ser nuevos objetos primarios de investigación ciertos objetos tales como: “resolución de problemas en matemática”, “función”, “aritmética”, “concepto geométrico”, los cuales para el anterior enfoque resultaban incuestionables.

La evolución del Programa Epistemológico o Didáctica Fundamental será presentada, en este trabajo, a partir del estudio de los “sistemas didácticos”, así como de sus diferentes componentes y de las características de su funcionamiento, considerando centralmente los aportes del enfoque antropológico.

2. EVOLUCIÓN DEL PROGRAMA EPISTEMOLÓGICO

2.1. Sistema didáctico: su caracterización

Los inicios del Programa epistemológico se corresponden con las primeras formulaciones de la Teoría de las Situaciones Didácticas (Brousseau, 1972, 1986). Más precisamente en 1970 se plantea el proyecto científico: tratar de construir el modelo de las situaciones utilizadas para enseñar las nociones matemáticas. La caracterización de un conocimiento matemático mediante una “situación” es el principio metodológico fundamental de esta teoría. En él se pone de manifiesto que ningún fenómeno relativo a la enseñanza y al aprendizaje de la matemática puede ser analizado sin tener en cuenta la especificidad del saber matemático. Asimismo, es importante rescatar el enfoque sistémico del análisis de dichos fenómenos -característica fundamental de esta línea, aunque no privativa-. En efecto, según palabras textuales de G. Brousseau, se caracteriza a la Didáctica de la Matemática como el estudio de la evolución de las interacciones entre un saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de apropiación de este saber por el sujeto (1986).

En consecuencia es el estudio de estos sistemas que se denominan “sistemas didácticos”, y su funcionamiento el objeto de estudio de la Didáctica de la Matemática.

En el siguiente gráfico se esquematiza un sistema didáctico según Arsac y cols. (1989 :61) que materializa con notable síntesis y precisión los elementos esenciales y las interacciones básicas que se producen en una clase:

 

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Pero... ¿donde existen estos sistemas? Para contestar a ello se debe considerar un sistema mayor, llamado sistema de enseñanza el cual no sólo reúne los distintos sistemas didácticos sino que permite y condiciona el funcionamiento didáctico del mismo. Este sistema incluyente posee además un entorno, sumamente complejo, donde aparecen todos los integrantes de distintos tipos de instituciones ya sean de producción del saber, de utilización del saber o de formación en ese saber, como lo son las figuras de los académicos matemáticos, los padres, los profesores, los escritores de libros, los especialistas en currículum, las autoridades gubernamentales, entre otros. Se está así inmerso en el lugar donde se piensa el funcionamiento didáctico y que fuera llamado por Chevallard: noosfera. En otras palabras, se está donde se encuentran todos los que “se interesan” por el sistema de enseñanza pero que se hallan a su vez fuera del cumplimiento del acto de enseñanza en sí mismo. Cuando se habla de instituciones de producción, se refiere a los lugares donde se produce matemática en nuestra sociedad. En general estas instituciones están compuestas por matemáticos dentro de las universidades, aunque también hay quienes lo hacen fuera de ellas. Por otra parte, las instituciones de utilización son aquellas donde se realizan aplicaciones de la matemática, ya sea tanto en la vida cotidiana como en los sectores profesionales. Por último, las instituciones de formación están representadas especialmente por las escuelas de distintos niveles, universidades, libros de textos, en síntesis instituciones escolares. Esta diferenciación plantea la observación sobre cómo se usa y cómo se hace la matemática en distintas instituciones.

Para avanzar en esta investigación es necesario realizar un análisis de la actividad matemática escolar, la cual al decir de Gascón no es posible interpretarla adecuadamente si se aleja de la reconstrucción escolar de las matemáticas (1998, 1999), que tiene su origen en la institución productora del saber matemático. Es éste uno de los primeros aportes de la Teoría de la Transposición Didáctica (Chevallard, 1985) que forma parte del enfoque antropológico. El desarrollo de esta teoría muestra que el estudio del saber en los fenómenos de enseñanza y aprendizaje no se puede separar completamente de su utilización en distintas instituciones. De esta manera la actividad matemática escolar se sumerge en una problemática mayor como lo es el de las actividades matemáticas institucionales.

Es así como el propio Brousseau en el año 1994, tal como lo cita Gascón cuando analiza la evolución de la Didáctica como disciplina científica, enriquece la definición de la Didáctica de las Matemáticas afirmando que es la “ciencia de las condiciones específicas de la difusión (impuesta) de los saberes matemáticos útiles a las personas y a las instituciones humanas”.

2.2. Algunos roles de los distintos elementos que constituyen un sistema didáctico²

En primer lugar se establecerán pautas que muestran la complejidad para la definición de estos roles. Es sabido que, no es lo mismo ser un matemático investigando dentro de una universidad que trabajar en la misma universidad como profesor dictando clases a sus alumnos, es decir pasar de un rol a otro en la misma institución. Éste es uno de los análisis fundamentales que realizan los investigadores en Didáctica. Para esta teorización se trabaja en el aislamiento de condiciones en las cuales aparecen las matemáticas y el papel que las personas pueden jugar en este proceso. Más allá que para los científicos el saber tiene que ser despersonalizado, descontextualizado, destemporalizado³ (Brousseau, 1986, 1993), para la enseñanza se plantea el problema inverso: se trata de construir situaciones que implican una recontextualización, repersonalización y retemporalización de los conocimientos. Este es un complejo problema, pero que se considera imprescindible de abordar en la misión de enseñar. O sea, ser profesor es algo particular y existe de un modo institucional porque hay instituciones de formación. Bajo estas condiciones se dice que el profesor “entra” al sistema didáctico como instructor pues su relación con el alumno queda determinada por las condiciones de existencia y funcionamiento del saber a transmitir.

Por otra parte, además de un profesor están las otras personas que no saben y quieren saber: los alumnos. Para ser alumno no basta con estar presente en una hora de clase, es necesario entender que hay un papel particular que jugar en los sistemas didácticos. Un sujeto no “entra” al sistema didáctico íntegramente, si no lo hace como sujeto didáctico. En efecto, para clarificar esta diferencia se puede analizar, a modo de ejemplo, la siguiente situación: se le pide a un sujeto en un determinado instante hacer alguna tarea, resolver algún problema, y en otro momento se le requiere un plato de comida al tener hambre. Estos pedidos no se deben confundir... En este último caso el sujeto que pide necesita un resultado de lo que se va a hacer, se está aquí ante un pedido instrumental. En cambio, cuando se solicita en una clase que se resuelva un problema, el profesor no tiene relación alguna con la solución, él no necesita la solución, sólo se requiere que el alumno muestre que sabe resolver la situación, esto es lo que se denomina un pedido didáctico. Sin embargo hay situaciones donde el pedido instrumental es necesario para seguir trabajando en el sistema didáctico, tal como cuando se necesita pedir un compás para dibujar una circunferencia. En este marco, “entrar como alumno” al sistema didáctico no es nada fácil, hay estudiantes que no se comprometen con el juego didáctico, ya que es un juego cultural muy particular. En él se necesita actuar como un verdadero matemático, o sea responsabilizarse de las respuestas que se da a los pedidos didácticos que se le plantean. Es muy frecuente delegar al profesor la responsabilidad de la validez de sus contestaciones, como si su rol fuera sólo el de contestar las preguntas que se le hacen, no comprometiéndose en ningún sentido sobre la coherencia o validez de sus afirmaciones. Este hecho también es mostrado e investigado por la Didáctica de la Matemática, aunque tal como se puede inferir no es exclusivo de la Matemática.

Por último, junto al profesor y al alumno en el sistema didáctico se encuentra el saber, por lo que ahora cabe preguntarse ¿cómo “entra” un saber al sistema didáctico? Es aquí donde se produce, en la teoría, la inclusión del proceso de la transposición didáctica. En este necesario pasaje del saber científico al saber enseñado, cuyo lugar de efectivización es la noosfera, el saber no puede ser considerado como copia simplificada del conocimiento científico, sino que debe ser considerado como saber didáctico que posee una epistemología particular. Bajo esta perspectiva, y bajo una visión dinámica del proceso de transposición didáctica, se deberían analizar las distintas transformaciones producidas en un saber para poder entrar al sistema didáctico, aunque también desde un punto de vista estático, podría observarse la “distancia” entre el “saber sabio”, o sea dentro de la institución de producción, y el “saber enseñado”, o sea dentro de instituciones escolares diversas. En efecto, es la Teoría de la Transposición Didáctica la que trata de describir las adaptaciones sufridas por los objetos matemáticos que permiten su inclusión en el sistema educativo, los procesos que expliquen como “evolucionan” en él y la aparición de diferentes fenómenos didácticos asociados a esta forma de “vivir” en el sistema educativo.

Esta somera descripción sobre cómo “entra” cada componente al sistema didáctico y permite su funcionamiento obliga a pensar que cada relación entre dos vértices del triángulo didáctico siempre es analizada en función del vértice que queda libre. Así por ejemplo, un alumno no entra en forma privada en relación con un saber, sino que intervienen en ella otros alumnos y por sobre todo el profesor. Entra así en juego un regulador del funcionamiento del sistema didáctico: el “contrato didáctico”, noción introducida por G. Brousseau (1986) y definida como: un conjunto de reglas, generalmente implícitas que organizan las relaciones entre el saber enseñado, los alumnos y el profesor.

2.3. El contrato didáctico: su función reguladora dentro del sistema didáctico

A los fines de caracterizar esta noción fundamental dentro de la organización escolar y de actual vigencia como objeto de investigación en Didáctica de la Matemática, se expone una situación que permitirá su análisis. La misma fue extraída de la observación de una clase en primer grado donde se solicita a los alumnos reconocer la cantidad de objetos de una colección presentada de la siguiente manera:

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La maestra le pregunta a sus alumnos: ¿Cuántos patitos hay? Los chicos en forma desordenada, pero inmediatamente le contestan: seis seño, ...ocho seño, ...siete seño.

No, no y no dice la señorita. A ver contemos juntos: uno, dos, tres,... (y va señalando los objetos uno a uno). Los alumnos mientras tanto, todos con voz muy fuerte y no respetando el ritmo en el que señala la maestra, dicen: uno, dos, tres, cuatro, cinco...

No, no, así no interrumpe la señorita. Empecemos otra vez. La maestra esta vez señala los objetos y adecua su acción al ritmo de los alumnos.

Así llegan a determinar que hay siete objetos. O sea la respuesta correcta ha sido obtenida.

Pero... en una próxima situación esto no significará que los alumnos puedan por si mismos coordinar el enunciado de la serie numérica con la acción de marcar cada elemento. Se ha activado indiscutiblemente un nuevo contrato didáctico, el maestro intenta -a través de cualquier medio- hacer saber a sus alumnos lo que él quiere que hagan. En efecto, a partir de la ruptura inicial, cuando la maestra no obtiene a partir de su pregunta la acción esperada: “contar los objetos”, se inicia la negociación de un nuevo contrato. En éste la maestra pretende establecer una nueva regla: ante el interrogante ¿cuántos hay? exige contar 1 a 1 marcando cada objeto.

En síntesis, el alumno entra en relación con el saber de acuerdo a la acción del docente, siendo el contrato didáctico quien determina las funciones de cada polo del sistema. Es el contrato didáctico el que regula todas las interacciones entre docente y alumno a propósito de un saber. Cada noción enseñada, cada tarea propuesta (en este caso particular el conteo de siete objetos) se encuentra gobernada por su legislación implícita.

Este ejemplo también echa luz sobre una importante distinción realizada por Chevallard en sus observaciones sobre el contrato didáctico, donde plantea las diferencias de disposiciones entre el contrato científico y el contrato didáctico. Entre ellas se encuentra algunas de las causas de porqué es tan difícil actuar como un verdadero matemático en las interacciones didácticas lo que fuera ya ponderado al querer caracterizar como “entra” un alumno al sistema didáctico. Como se anticipara el alumno ejerce sobre su producción un control muy débil, realidad que se explica en este marco debido a que siempre se razona bajo un contrato. Sin embargo es sabido que esta actitud no corresponde a la de un “científico en miniatura” cuando produce una demostración inválida sobre su hacer matemático. En efecto, el investigador debe dar pruebas de todo lo que enuncia, mientras que al alumno no se le reconoce esta capacidad, la cual queda relegada siempre y en forma exclusiva al docente. En este ejemplo particular que se está analizando no se le exige al alumno prueba de sus resultados (seis, siete u ocho es lo mismo), sino que el docente toma la responsabilidad de buscar la forma de que sus alumnos no se equivoquen, no se puede sustraer de la obligación de dar su propia respuesta a la situación planteada.. En las interacciones científicas esta relación está ausente, pues sólo hablan los que dicen enunciados cuya validez pueden garantizar. Asimismo cuando estos enunciados se publican la validación se consuma, mientras que tal como se observa en el caso analizado, cuando los alumnos publican sus resultados la validación recién comienza.

2.4. Características del funcionamiento de un saber en distintas instituciones.

Sin duda, un fenómeno especial de la didáctica, como es el “funcionamiento didáctico” de un saber, adquiere bajo esta perspectiva su propia identidad. Entonces, ¿cómo queda determinado el funcionamiento didáctico del saber y el funcionamiento del mismo dentro de la comunidad matemática?. De acuerdo a lo expuesto por Chevallard (1985) el motor de avance en la construcción del saber, está constituido por los problemas que se encadenan y se reproducen. Más aún, Bachelard (1983) afirmaba que los problemas son el nervio del progreso científico. Asimismo, en el proceso de enseñanza, la progresión está determinada por una cierta contradicción antiguo/nuevo, donde el éxito del aprendizaje es el que promueve su evolución. Además, el funcionamiento de esta contradicción está determinado por ese proceso dialéctico, en el cual hay un primer momento donde el objeto debe aparecer como algo nuevo a los fines de constituirse en objeto de enseñanza y campo de un aprendizaje, para luego transformarse en un objeto antiguo y poder así asimilarse a conocimientos anteriores. Bajo esta óptica es necesario plantear situaciones que hagan funcionar el saber, a partir de saberes definidos culturalmente en los programas escolares. En otras palabras, el saber funciona si existe una situación que proporciona la significación del conocimiento para el alumno, ello en la medida en que convierta a este conocimiento en un instrumento de control de los resultados de su actividad. El alumno construye así un conocimiento contextualizado, a diferencia de lo que ocurre normalmente en las instituciones de enseñanza donde las aplicaciones se suceden después de la presentación del conocimiento, es decir descontextualizadas. Un ejemplo que ilumina sobre esta problemática es la situación diseñada por Brousseau donde se pone a funcionar la noción de razón de proporcionalidad trabajando sobre la siguiente consigna: Este es el dibujo de un rompecabezas con alguna medida de sus partes. Hay que fabricar un rompecabezas como éste pero más grande, de manera que un lado que en este rompecabezas mide 3 cm, en el otro mida 5 cm.

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Pero... ¿por qué resulta indispensable aclarar las características del funcionamiento de los saberes? Porque son ellas las que permiten construir un marco de referencia para postular una posición diferenciadora sobre la importancia de la resolución de problemas en la enseñanza de la matemática. Tal diferenciación se postula, tanto de aquellas posiciones que defienden que sólo hace falta saber mucha matemática para abordar la problemática de su enseñanza, y que es esto lo que les permitirá elegir los problemas más adecuados, como de aquellas posiciones que sostienen la importancia de la resolución de problemas para que los alumnos apliquen lo que ya han aprendido. Es indudable que la resolución de problemas matemáticos se convierte así en un objeto de estudio en sí misma, como así también nociones propias de la ciencia matemática como la de proporcionalidad y razón, en el marco de la situación presentada.

Asimismo, en este encuadre teórico el significado de un concepto nunca está completamente acabado, sino enriquecido en forma constante por la posibilidad de ser presentado en distintos tipos de contextos. Regine Douady (1986) explica claramente esta posibilidad de construir una matemática con significado a través del desarrollo de un nuevo proceso cíclico en las relaciones entre enseñanza y aprendizaje que permite un análisis didáctico de la misma: la dialéctica herramienta-objeto. En ellas las nociones son utilizadas, en primer lugar, como herramientas para resolver problemas para luego convertirse en objeto, y ocupar así el lugar que le corresponde dentro de la red conceptual del “saber científico”. Más aún, bajo esta concepción, es fundamental observar el proceso de resolución de problemas tratando de detectar las diversas estrategias, las conjeturas propuestas, las validaciones o refutaciones, los intentos de comunicación, las acciones que facilitan la superación de los errores, o sea las prácticas personales de los alumnos. En síntesis, al decir de Godino y Batanero (1998) es con este sistema de prácticas significativas, puestas en juego por las personas, por las cuales surge el objeto institucional, donde se define el significado del mismo.

Surge así la necesidad de caracterizar la noción de significado que es muy utilizada informalmente en análisis didácticos y que adoptará un lugar privilegiado en la Teoría Didáctica para generar un nuevo enfoque en la investigación didáctica, denominado semiótico-antropológico. Se sitúa así a la noción de significado como un aporte al enfoque antropológico iniciado por Chevallard transformándose esta noción en una herramienta conceptual clave para el análisis de la actividad matemática.

2.5 La noción de significado:

Se adhiere aquí a la posición pragmática de las teorías del significado cuyas ideas básicas pueden sintetizarse como:

• el significado de las expresiones lingüísticas depende del contexto en que se usan y

• las entidades abstractas, como los conceptos y las proposiciones no son percibidas mediante observaciones. Sólo a partir del uso lingüístico se puede inferir el significado de los objetos abstractos.

2.6 Encuadre del enfoque semiótico-antropológico para la Didáctica de las Matemáticas.

Tal como lo afirma Godino (1999a) este enfoque no es un modelo teórico acabado, sino un sistema de nociones en proceso de elaboración y desarrollo que pretende a través de nociones semióticas integrar distintas dimensiones (epistemológicas, cognitivas e instruccionales) que actúan en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Tres son los modelos teóricos que sostienen este enfoque, a saber:

• La Teoría de los significados institucionales y personales de los objetos matemáticos (Godino y Batanero, 1994, 1998) que es equivalente al componente epistemológico de la teoría antropológica de Chevallard (1992, 1997)

• La Teoría de las funciones semióticas (Godino y Recio, 1998), (Godino y Batanero, 1998) que pretende articular cuestiones ontológicas, epistemológicas y psicológicas presentes en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.

• La Teoría de las Trayectorias didácticas (Godino, 1999b) que se propone como modelización de los procesos de instrucción matemática. Este modelo interpreta y extiende el aspecto instruccional de la Teoría de las situaciones didácticas (Brousseau, 1986) y la Teoría de los momentos didácticos (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997)

Los supuestos epistemológicos y cognitivos que subyacen a esta teoría pragmática y relativista del significado de los conceptos se pueden sintetizar mediante los siguientes principios:

1. Las acciones de las personas son la fuente genética de las conceptualizaciones matemáticas, adhiriéndose a la posición Piagetiana, ya que se considera a las matemáticas como un quehacer humano que surge como respuesta a problemas.

2. Los sistemas de símbolos matemáticos al desempeñar un papel instrumental por sobre lo comunicativo son quienes modifican al sujeto que los utiliza como mediadores (Vigostsky, 1977).

3. Las interrelaciones entre las componentes de un sistema matemático son quienes explican el gran número de problemas implicados en el aprendizaje de las matemáticas, pues la actividad matemática pretende la construcción de un sistema conceptual lógicamente organizado.

Se considera necesario para marcar el rumbo de esta línea de investigación definir o caracterizar las nociones principales que la sustentan. Como se ha tratado de marcar en este trabajo es Chevallard el primer teórico que sitúa a la Didáctica dentro de la Antropología Cognitiva la cual estudia al hombre como conocedor y creador de universos de objetos. Tal autor entiende por objeto matemático al “emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales que se desglosan en diferentes registros semióticos” y centra su teoría del conocimiento en una nueva noción teórica denominada: rapport à l’objet, (relación al objeto). No se interesa por la noción de significado de un objeto, herramienta conceptual de gran importancia en la actualidad para el análisis didáctico y que como ya se mencionara posibilitante de una nueva línea de investigación en este Programa Epistemológico. Textualmente dice: “un objeto existe desde que una persona X o una institución Y reconoce este objeto como un existente (para ella). Más precisamente, se dirá que un objeto O existe para X (respectivamente para Y) si existe un objeto, que represento por R(X, O) (respectivamente R (O) que llamo relación personal del X a O (respectivamente relación institucional de Y a O) (Chevallard, 1992). Se evidencia en la caracterización de esta noción una diferenciación entre lo institucional y lo personal observándose en la teoría de Chevallard una gran fuerza otorgada a la dimensión institucional.

Godino y Batanero en un intento de clarificar las nociones involucradas en la relación antes manifiesta y de hacerlas operativas para un enfoque sistémico de la Didáctica, donde no se pueden eludir los procesos cognitivos personales, consideraron necesario precisar las nociones de práctica y de objeto y de proponer un uso técnico para la noción de significado.

En este sentido se torna ineludible la ya mencionada distinción de dos dimensiones del conocimiento matemático: personal e institucional, las cuales para tales autores también son consideradas como dimensiones subjetiva y objetiva respectivamente. Por lo tanto emerge un conocimiento mediatizado por las particularidades de las diferentes instituciones donde los sujetos viven y se desarrollan, el que permite hablar en forma relativa del “significado de un objeto”.

En este marco conceptual se toma como noción primitiva la de situación problema y se definen las siguientes nociones, pertinentes a este trabajo, como lo son la de práctica, objeto institucional y personal, y significado. Cabe aclarar que más allá que sea considerada la situación problema como un término primitivo, para su caracterización se está teniendo en cuenta las actividades de matematización, sostenidas por Freudenthal (1991) y los tres tipos de situaciones que propone Brousseau en su Teoría de las Situaciones (acción, formulación y validación).

Asimismo en la definición de práctica que se introduce se sintetizan las características de las actividades de matematización:

Llamamos práctica a toda actuación o manifestación (lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas. (Godino y Batanero, 1994).

Generalmente las situaciones problemáticas y sus soluciones son socialmente compartidas, o sea vinculadas a diferentes instituciones, surgiendo así la necesidad de definir “institución” y “sistema de prácticas institucionales”:

Una institución (I) está constituida por las personas involucradas en una misma clase de situaciones problemáticas. El compromiso mutuo con la misma problemática conlleva la realización de unas prácticas sociales compartidas, las cuales están, asimismo, ligadas a la institución a cuya caracterización contribuyen.

Un sistema de prácticas institucionales, asociadas a un campo de problemas está constituido por las prácticas consideradas como significativas⁴ para resolver un campo de problemas C y compartidas en el seno de la institución Y (Godino y Batanero, 1994).

Por consiguiente y dado que las prácticas varían dependiendo de las instituciones, a los objetos se les confiere relatividad institucional definiéndose los objetos institucionales como emergentes de prácticas sociales compartidas. Esta aceptación de objetos institucionales, o sea de la existencia de diferentes objetos según la institución a la que se esté refiriendo, es una de las características fundamentales de este marco de referencia que se contrapone con la posición absolutista y dominante de la matemática que sostiene la existencia de objetos únicos.

Por otra parte, al aceptar también que el carácter progresivo de la construcción de los objetos en la ciencia tiene su paralelismo en el aprendizaje del sujeto (Piaget y García, 1984), se rescata con gran fuerza la dimensión personal surgiendo la existencia de sistema de prácticas personales y de objeto personal. Los objetos son designados y explicados mediante cierto tipo de prácticas, por lo que la noción de significado también acepta dos dimensiones, o sea se considera significado personal o institucional ya sea cuando se refiera a manifestaciones idiosincrásicas de un sujeto en particular o como producto de prácticas sociales compartidas que dependen del tiempo (Godino y Batanero, 1994).

Esta teorización permite vislumbrar con claridad nuevos problemas didácticos relacionados con la transposición didáctica, tales como estado de relación entre ambos dominios (institucional y personal) y cambios de significados cuando se pasa de una institución a otra⁵.

3. CONCLUSIONES

Se ha tratado con esta somera descripción de la evolución del programa epistemológico de la didáctica de la matemática que sitúa a la noción de significado como un aporte al enfoque antropológico iniciado por Chevallard, mostrar que la ampliación de objetos de estudio y la detección de nuevas herramientas conceptuales para realizar análisis didácticos, permiten perfilar en la didáctica de la matemática un futuro de importantes investigaciones.

Es además por todos sabido que la difusión de los conocimientos en didáctica de la matemática, no es acorde a las necesidades actuales de al menos nuestro sistema educativo. Sin embargo el origen de los problemas de esta joven ciencia merece el esfuerzo indeclinable de cada uno de los investigadores existentes en este ámbito.

Por último, cabe rescatar que el avance progresivo de este tipo de investigaciones debe tener como uno de sus principales objetivos la posibilidad de contribuir concretamente a la enseñanza de la matemática y por ende a mejorar la educación integral de los niños y jóvenes.

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Notas

1. Acordamos con definir a los fenómenos didácticos-matemáticos como fenómenos que dependen de las características específicas de la organización matemática de cada institución y del contrato didáctico asociado, apareciendo así una interdependencia entre lo matemático y lo didáctico.

2. Algunas de las ideas que aquí se exponen fueron extraídas de la disertación del Dr. Rouchier (1998) en la Universidad de Río Cuarto.

3. Proceso que también deberán seguir los alumnos en el aprendizaje.

4. Entendiéndose por práctica significativa la que permite conseguir el objetivo propuesto para la resolución de un problema.

5. Un inicio de investigación en estos problemas, con respecto al saber: Divisibilidad en Números enteros se encuentra en la tesis: Análisis epistemológico y didáctico de nociones elementales de la Teoría de Números. Autor: S. Etchegaray. UNRC.

Este trabajo se encuadra en el Proyecto de Investigación La problemática del Aprendizaje de la Matemática y de las Ciencias Naturales en distintos niveles de enseñanza del centro-sur de Córdoba: investigación, análisis y propuestas curriculares. Línea 3. Subsidiado por Agencia Córdoba.